Beweis: Unterschied zwischen den Versionen

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−
Ein Beweis ist eine Methode der [[Mathematik]], bei der so viel verwirrende Symbole aneinandergereiht werden bis der Leser abgehängt ist und er sich entschliesst, es einfach zu [[glauben]]. Es gibt verschiedene Arten zu zeigen, dass man Recht hat.
+
[]
−
Häufig verwendete Abkürzungen:
 
−
* '''PS''' := '''P'''roblem'''schwierigkeit'''
 
−
* '''BFM''' := '''B'''eweis'''f'''ührer'''m'''odifikator
 
−
==Beweis durch Rechnung==
 
−
Laut Mathematikern die einzig wahre Beweismethode. Leider oft ziemlich kompliziert.
 
−
===Beweise durch ehrliche Rechnung und zwingende Logik===
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
|Direkter Beweis
 
−
|[[relativ]] zur PS
 
−
|[[relativ]] zur PS, üblicherweise sehr [[hoch]]
 
−
|70%+BFM
 
−
|Nix
 
−
|Wir wollen zeigen, dass alle Kamele acht Höcker haben.
 
−
 
 
−
I.  Kein Kamel besitzt sechs Höcker.
 
−
II.  Jedes Kamel besitzt zwei Höcker mehr als kein Kamel.
 
−
III. Also muss jedes Kamel acht Höcker besitzen.
 
−
quod erat dromedarum.
 
−
(Anmerkung eines Klugscheißers: Dromedare haben genau ein Höcker,
 
−
  von daher ist die zweite Aussage falsch!)
 
−
 
 
−
Zu zeigen: Zwei Zahlen geben zusammen immer [[null]].
 
−
 
 
−
Sei a + b <nowiki>=</nowiki> s  (Zu zeigen: s <nowiki>=</nowiki> 0, für a, b beliebig)
 
−
a  + b                    <nowiki>=</nowiki> s
 
−
a*s + b*s                  <nowiki>=</nowiki> s*s
 
−
a*s + b*s + a*a + b*a      <nowiki>=</nowiki> s*s + a*a + b*a
 
−
a*s + b*s + a*a + b*a - s*s <nowiki>=</nowiki>      a*a + b*a
 
−
s*(a+b-s) + a*a + b*a      <nowiki>=</nowiki>      a*a + b*a
 
−
s*(a+b-s) + a*a + b*a - a*s <nowiki>=</nowiki>      a*a + b*a - a*s
 
−
s*(a+b-s) + a*(a+b-s)      <nowiki>=</nowiki>      a*(a+b-s)
 
−
s        + a              <nowiki>=</nowiki>      a
 
−
                          s <nowiki>=</nowiki> 0
 
−
quod erat expectandum
 
−
 
 
−
Zu zeigen: Jeder [[Kreis]] hat einen Flächeninhalt von 0.
 
−
 
 
−
Hierzu verwenden wir die [[Formel]] [[Fläche]]<nowiki>=</nowiki>[[pi]]*[[Radius]]^2.
 
−
Mit Hilfe von e^(pi*i)<nowiki>=</nowiki>-1 berechnen wir hierzu pi:
 
−
e^(pi*i)<nowiki>=</nowiki>-1  <nowiki>|</nowiki>^2
 
−
e^(2*pi*i)<nowiki>=</nowiki>1 <nowiki>|</nowiki>ln
 
−
2*pi*i<nowiki>=</nowiki>0    <nowiki>|</nowiki>/(2*i)
 
−
pi<nowiki>=</nowiki>0
 
−
Also ist Fläche<nowiki>=</nowiki>0*Radius^2<nowiki>=</nowiki>0, quod erat dromedarum.
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
|Beweis durch Widerspruch
 
−
|[[relativ]] zur PS
 
−
|[[relativ]] zur PS, üblicherweise eher gering
 
−
|80%+BFM
 
−
|5 [[Gummipunkt]]e
 
−
|Beweistechnik bei der man das Gegenteil der zu zeigenden Aussage zum Widerspruch führt. Dadurch wird die ursprüngliche Aussage wahr.
 
−
Durch einen Widerspruchsbeweis lässt sich zeigen: Alles was nicht rot ist, ist blau.
 
−
 
 
−
Nehmen das Gegenteil an: Alles was rot ist, ist blau.
 
−
Offensichtlich wird dadurch die Eindeutigkeit verletzt: Widerspruch.
 
−
Folglich gilt: Alles was nicht rot ist, ist blau.
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
|Beweis durch Unschärfe
 
−
|[[relativ]] zur PS
 
−
|[[relativ]] zur PS, üblicherweise eher gering
 
−
|90%+BFM
 
−
|10 [[Gummipunkt]]e
 
−
|Besonders bei Physikern beliebtes Beweisverfahren.
 
−
2 + 2 <nowiki>=</nowiki> 5 ist wahr für genügend große 2.
 
−
Diese Technik lässt sich schon auf Einsteins allgemeine Relativitätstheorie zurückführen.
 
−
In seinen Schriften beweist Einstein eindrucksvoll, dass 1 + 1 <nowiki>=</nowiki> 3 ist, wenn sich der
 
−
Mathematiker mit annähernd [[Lichtgeschwindigkeit]] fortbewegt.
 
−
<br>{{sa}} [[Komische Zahlen]]
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
|Beweis durch die Unendlichkeits-Annihilationstheorie
 
−
|250
 
−
|70% der Lebensdauer eines Kamels
 
−
|-50%+BFM
 
−
|2 Goldene Karawanen
 
−
|Extrem kompliziert. Genaueres steht genau im dazugehörigen Kapitel unter [[Unendlichkeits-Annihilationstheorie]],
 
−
oder auch unter [[vierhundertmillionenmilliarden]].
 
−
}}
 
−
 
 
−
===Beweise durch fiese Rechentricks===
 
−
Nicht immer ist ein Beweis auf einfache Weise möglich. Fiese Tricks helfen hier weiter:
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
|Beweis durch Komplexität
 
−
| 150
 
−
| 40 Minuten
 
−
| 75%
 
−
| -
 
−
|Die Beweisführung wird so lange aufgebläht, bis alle zu Überzeugenden aufgegeben haben.
 
−
Verwendete Prinzipien:
 
−
* '''Präzise Bezeichnungen''' ("Sei p ein Punkt q, wir wollen ihn als r kennzeichnen")
 
−
* '''Überladene Notation''' (Am besten, man verwendet mindestens vier Alphabete und viele Sonderzeichen. Hier reicht das griechische Alphabet alleine nicht mehr aus, um engagierte Zuhörer abzuschrecken. Ein kurzer Exkurs in die hebräischen Sonderzeichen, das altdeutsche Alphabet und die Verwendung von Skriptalphabeten (kaum zu Unterscheiden vom Lateinischen Alphabet) sollte aber auch den stärksten Zweifler zum Schweigen bringen.)
 
−
* '''Transformation''' (Dabei werden selbst einfachste lineare Gleichungen in mehrvariablige Integralgleichungssysteme umgewandelt. Falls dafür nicht genug Variablen vorhanden sein sollten können beliebig neue Variablen erfunden werden, hier bewährt sich auch die "Beweis durch überladene Notation"-Methode, vor allem wenn u.a. altkyrillische Keilschrift und das japanische [[Kanji]] für "Schweinepriester" verwendet wird. Nur von ausgesprochen sadistischen [[Mathematikprofessor]]en angewandt.)
 
−
 
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
|Beweis durch vollständige Intuition
 
−
| -
 
−
| 5 Sekunden
 
−
| 100%
 
−
| -
 
−
|Man sage: "Das ist doch klar! Das sieht man doch sofort!" QED}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
|Beweis durch Verwirrung
 
−
| [[Toast]]brot-Niveau
 
−
| 20 Minuten
 
−
| 92%
 
−
| 1 goldene [[Ananas]]
 
−
|[[Bild:Deutlicher Beweis.jpg|thumb|Hier: ein deutlicher Beweis durch Verwirrung.]]
 
−
Hierzu wird eine lange, zusammenhanglose Folge von wahren und/oder bedeutungslosen, syntaktisch verwandten Aussagen verwendet. Während der engagierte Leser noch versucht, den roten Faden zu finden, muss er durch parallele Anwendung der überladenen Notation verwirrt werden.
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
|Beweis durch Reduktion auf das falsche Problem
 
−
| -
 
−
| 20 Minuten
 
−
| 92%
 
−
| 2 [[falsch]]e [[Fehler]]
 
−
|"Um zu zeigen, dass dies eine Abbildung in die Menge der s-saturierten Ideale ist, reduzieren wir es auf die Riemannsche Vermutung." oder ähnliche Aussagen sind besonders sinnvoll in Zusammenhang mit anderen Beweistechniken, zum Beispiel "Beweis durch nicht verfügbare Literatur".
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch Epsilon-Umgebung
 
−
| [[relativ]] zur PS
 
−
| [[relativ]] zur PS
 
−
| 100%
 
−
| 1 [[Bielefelder Epsilon]]
 
−
|Funktioniert immer, da sich mit einer [[Epsilon-Umgebung]] grundsätzlich alles beweisen lässt. Merkwürdig, aber irgendwie doch faszinierend. ({{sa}} [[Grim Fandango]])
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch Substitution
 
−
| [[Toast]]brot-Niveau
 
−
| [[relativ]] zur PS
 
−
| 100%
 
−
| 250 ächzende [[Student]]en
 
−
|"Nun ersetzen wir der Einfachheit halber auf der linken Seite den Ausdruck <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2 + 1}(x+1)^n</math> [Anm.: die gesamte linke Seite] durch "a" und auf der rechten Seite <math>\int\limits_0^x \frac{x^{\lim_{t \rightarrow \infty}e^\frac{t}{2x}}}{\sqrt{x^y \cdot \frac{x+1}{\sqrt{x}}}} ~{\mathrm{d}x}</math> [Anm.: die gesamte rechte Seite] durch "b". Somit folgt sofort [wasauchimmer], das endgültige Ergebnis folgt durch einfache Rücksubstitution."
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch Beispiel
 
−
| gering
 
−
| 5 Minuten
 
−
| [[98,9%]]
 
−
| 3 [[vollständige Induktion]]sspulen
 
−
|Der Dozent behandelt nur den Fall n<nowiki>=</nowiki>1 oder n<nowiki>=</nowiki>2 und anhand dieser Beispiele sollte es sehr wahrscheinlich sein (also eine Wahrscheinlichkeit mit Grenzwert 1), dass der Beweis stimmt.
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Physiker-Beweis
 
−
| gering
 
−
| 2 Stunden
 
−
| [[98,9%]]
 
−
| 0 bis 50 Punkte
 
−
|Annahme: Irgendwas<br>
 
−
Beweis: Versuchsreihe <nowiki>=</nowiki>> Ann. falsch <nowiki>=</nowiki>> [[Messfehler]] und Werte-Tuning <nowiki>=</nowiki>> Annahme wahr, qed.
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch rekursiven Querverweis
 
−
| 30
 
−
| 3 Minuten
 
−
| 100%
 
−
| 0
 
−
|In Quelle a wird Satz 5 gefolgert aus Satz 3 der Quelle b, welcher seinerseits sofort aus Korollar 6.2 der Quelle c folgt, den man trivial aus Satz 5 der Quelle a erhält.
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch Metabeweis
 
−
| -
 
−
| 15 Minuten
 
−
| 100%
 
−
| 0
 
−
|Es wird ein Verfahren angegeben, um den geforderten Beweis zu konstruieren. Die Korrektheit des Verfahrens wird unter Anwendung eines der oben genannten Beweisführungsprinzipien unwiderlegbar nachgewiesen.
 
−
}}
 
−
 
 
−
==Beweis durch Psychologie==
 
−
Bei dieser Beweistechnik wird der Beweis durch Überzeugung des Gegenübers geführt.
 
−
 
 
−
===Beweise durch Autorität===
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch Einschüchterung
 
−
| -
 
−
| 5 Sekunden.
 
−
| 100%
 
−
| 0
 
−
| "Das ist [[trivial]]."
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch nicht verfügbare Literatur
 
−
| -
 
−
| -
 
−
| 100%
 
−
| 0
 
−
|Der Dozent zitiert ein einfaches Korollar eines Theorems, welches problemlos nachgelesen werden kann und zwar in einem Mitteilungsschreiben der slovenischen philologischen Gesellschaft, 1883. Diese Beweisführung ist völlig erschöpfend und wird seit Jahrzehnten mit Vorliebe bei schriftlichen Ausarbeitungen (siehe Literaturangaben in beliebigen Dissertationen und Habilitationen) angewandt.
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch Glaube
 
−
| -
 
−
| -
 
−
| 100%
 
−
| -
 
−
|Verwenden Sie in ihrer Begründung das Wort "Gott" "Goethe" oder "Konrad Adenauer"
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch persönliche Mitteilung
 
−
| -
 
−
| -
 
−
| 100%
 
−
| -
 
−
|"Der Tensierungsoperator ist rechtsexakt" (W. Trinks, persönliche Mitteilung)
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch Autoritätsgläubigkeit
 
−
| -
 
−
| -
 
−
| 100%
 
−
| -
 
−
|"Das muss stimmen. Das steht so im Forster."
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch Autoritätskritik
 
−
| -
 
−
| -
 
−
| 100%
 
−
| -
 
−
|"Das kann nicht stimmen. Das steht so im Jänich."
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Finaler Beweis des Vorgesetzten
 
−
| -
 
−
| -
 
−
| 100%
 
−
| -
 
−
|Ist so weil ist so. [[Q.e.d.|QED]].
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch konfuse Lehrkörper
 
−
| -
 
−
| -
 
−
| 100%
 
−
| -
 
−
|Der Professor sagt A, schreibt B, meint dabei C, rechnet weiter mit D, bekommt E heraus, aber F wäre richtig gewesen.
 
−
}}
 
−
 
 
−
===Beweis durch Kommunikation===
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Kommunikative Beweistechnik
 
−
| -
 
−
| -
 
−
| 100%
 
−
| -
 
−
|"Weiß das vielleicht jemand von ihnen?"
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch Demokratische Abstimmung
 
−
| -
 
−
| -
 
−
| 100%
 
−
| -
 
−
|Besonders effizient bei Studenten: "Wer ist dagegen?" (niemand). qed
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch Duell
 
−
| -
 
−
| -
 
−
| 100%
 
−
| -
 
−
|Der einzige wirklich echte und unwiderlegbare Beweis ist der Beweis durch das [[Duell]]. Der Beweis findet früh in der Morgendämmerung statt. Schwierig sind Duelle am Nordpol und am Südpol, dort ist nur ein Duell pro Jahr möglich, so dass die Beweise für lange Zeit im Voraus ausgebucht sind. In einfachen Fällen kann das Duell durch die [[Faustregel]] ersetzt werden.
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch Bestechung
 
−
| -
 
−
| -
 
−
| 100%
 
−
| -
 
−
|Der Beweis durch Bestechung ist das Gegenteil des Beweises durch das Duell. Allerdings bedarf die Bestechung einer gewissen Geheimhaltung dritten gegenüber, sonst nennt man sie [[Korruption]]. Beweise durch Korruption sind nicht sehr beliebt.
 
−
}}
 
−
 
 
−
==Beweise durch strategische Planung und Brutalität==
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch Wischtechnik
 
−
| -
 
−
| -
 
−
| 100%
 
−
| -
 
−
|Man wischt die entscheidenden Stellen des Beweises sofort nach dem Anschreiben wieder weg (rechts schreiben, links wischen).
 
−
}}
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch Schiebetechnik
 
−
| -
 
−
| -
 
−
| 100%
 
−
| -
 
−
|Nahe verwandt mit der Wischtechnik benutzt man bei diesem Vorgehen nur eine Hälfte der Tafel, schreibt diese vollständig bis unten voll und schiebt sie anschließend ganz nach unten, um die zweite Hälfte zu benutzen. Sollte die Tafel nicht weit genug nach unten verschiebbar sein, reicht auch anfänglich ein einfaches Davorstellen.
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch Induktion
 
−
| 120
 
−
| 10 Sekunden
 
−
| 10%
 
−
| 5 Euro in die Wortspiel-Kasse
 
−
|Wir stellen uns eine Spule mit 200&nbsp;mH vor.
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch Wasserprobe
 
−
| -
 
−
| -
 
−
| 80%
 
−
| -
 
−
|Der Beweis durch [[Wasserprobe]] ist recht einfach und alt bewährt. Das Kamel wird an den Beinen kreuzweise zusammengebunden und dann unter Wasser getaucht, bis es ertrinkt. Wenn es dann noch lebt, ist der Beweis gelungen, ist es tot, ist die Annahme widerlegt.
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch einfache Annihilation
 
−
| -
 
−
| -
 
−
| 80%
 
−
| -
 
−
|Früher weit verbreitete Beweisform. Als Steigerung des Beweises durch Einschüchtern haben die [[Kamelosaurus Rex|Kamelosaurier]] ihr ungläubig starrendes Gegenüber oftmals einfach komplett verschlungen. Üblicherweise hat das Opfer anschließend keine Einsprüche mehr erhoben.
 
−
}}
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
==Beweis durch Nichtbeweis==
 
−
Besonders erfahrene Beweisführer haben sich mittlerweile Methoden ausgedacht, mit denen man einen Beweis führen kann, ohne dass man sich mit dem Thema auskennen müsste.
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch wiederholten, iterativen Aufschub
 
−
| -
 
−
| -
 
−
| 80%
 
−
| -
 
−
|Dies ist eine sehr hinterhältige Beweistechnik. Sie stützt sich folgendermaßen auf die Vergesslichkeit von Studenten:
 
−
''"Dies werden wir in der nächsten Vorlesungsstunde beweisen, da wir jetzt leider keine Zeit mehr dazu haben"''
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch Pause
 
−
| -
 
−
| -
 
−
| 80%
 
−
| -
 
−
|"Diesen Satz beweise ich nach der Pause." - Pause - "Wie ich vor der Pause bewiesen habe..."
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch  rhythmisches Hinstarren
 
−
| -
 
−
| -
 
−
| 80%
 
−
| -
 
−
|Besonders beliebt bei Professoren, die nicht gerne reden und davon ausgehen, dass sich alles von selbst beweist, wenn man nur lange genug draufguckt.
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Kapitalistische Beweismethode
 
−
| -
 
−
| -
 
−
| 80%
 
−
| -
 
−
|"Eine Gewinnmaximierung tritt ein, wenn wir gar nichts beweisen, dann verbrauchen wir nämlich am wenigsten Kreide."
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch Auslassen
 
−
| -
 
−
| -
 
−
| 80%
 
−
| -
 
−
|"Die Details bleiben als leichte Übungsaufgabe dem geneigten Leser überlassen.", "Die Einzelheiten sind nun ein [[Fingerspiel]] für die Nachbearbeitung.", "Den genaueren Beweisablauf behandeln wir in der Übung." oder "Die anderen 246 Fälle folgen völlig analog hierzu." erleichtern schnell einen Aufschub für einen vergessenen Beweis.
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis mittels Aggression der Kommilitonen
 
−
| -
 
−
| -
 
−
| 100%
 
−
| -
 
−
|„Wer will's wissen?“<br>
 
−
(Student meldet sich und wird kurz darauf von Kommilitonen erdolcht)<br>
 
−
„Noch jemand?“
 
−
}}
 
−
 
 
−
 
 
−
{{Kamel:Grumpf/Vorlagen/Beweis
 
−
| Beweis durch vehementes beharren
 
−
| 0
 
−
| meist sehr hoch
 
−
| führt in nahezu 100% der Fälle zum Erfolg
 
−
| [[Wie war noch gleich die Frage?]]
 
−
|Diese Beweisführung verlangt vom ausübenden Kamel eine ganze Menge an Durchhaltevermögen. Starrköpfigkeit kann diese Vorgabe in einigen Fällen nahezu vollständig sublimieren.
 
−
 
 
−
Der Beweis wird dadurch geführt, dass das Beweisführende Kamel, egal ob die Behauptung zunächst als richtig oder falsch erachtet wird, nach jedem Gegenargument, sei es noch so stichhaltig, vehement auf die Richtigkeit der Behauptung besteht. Über [[kurz]] oder [[lang]] werden den Gegnern der Behauptung die Argumente ausgehen und die Behauptung bleibt letztendlich unwidersprochen - der Beweis gilt als geführt.
 
−
 
 
−
 
 
−
}}
 
−
 
 
−
 
 
−
{{sv}}B-Weiss
 
−
[[Bild:Milch.png|thumb|left|Gelungener B-Weiss - Weisses B auf weissem Grund. Siehe auch: [[Österreichische Kriegsflagge]]: Weißer Adler auf weißem Hintergrund.]]
 
−
 
 
−
[[Kategorie:Logik]]
 
−
[[Kategorie:Mathematik]]
 
−
{{GanzGut}}
 

Aktuelle Version vom 9. Dezember 2021, 22:03 Uhr

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