Unvollständigkeitssatz: Unterschied zwischen den Versionen

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Der '''Knödelsche Unverständlichkeitssatz''' beschäftigt sich mit der Beweisbarkeit von Aussagen in formalen Theorien. Der Satz zeigt die Grenzen der formalen Systeme ab einer bestimmten Mächtigkeit auf.
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Der '''Unvollständigkeitssatz''', aufgestellt von [[Kurt Dödel]], sagt aus, dass eine Aussage nicht zugleich vollständig und wahr sein könne. Er veränderte wesentlich die Prozessordnung und erlaubt die Aussageverweigerung auch auf dem Gebiet der Mathematik.
  
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Der Mathematiker [[Kurt Knödel]] wies im Jahre [[1930]] nach, dass man in Systemen wie der [[Arithmetik]] nicht alle Aussagen beweisen oder widerlegen kann. Sein Satz besagt:
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== Vollständige Induktion ==
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Nach dem Unvollständigkeitssatz ist die vollständige Induktion entweder nicht vollständig oder falsch. Gott vereinbarte mit dem Teufel, irgendein Schlupfloch müsse es immer geben und sei es klitzeklein.  
  
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:''Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unverständlich.''
 
  
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Knödels Argumentation beruht auf der sogenannten ''Knödelisierung''. Jeder Satz des innerhalb des formalen Systems erhält dabei eine eigene Nummer. Damit kann erreicht werden, dass beispielsweise einem einfachen Ausdruck wie "1+1=2" die Knödelnummer 8945724983579857096585098324975867985743908543256779812423434 zugeordnet wird. Zu dieser Zahl gehört nun wieder eine noch längere und kompliziertere Knödelnummer. Natürlich kann man diesen Schritt beliebig oft wiederholen, und bereits nach wenigen Schritten ist die Schmerzgrenze auch des cleversten Mathematikers überschritten. Es handelt sich dabei um einen sogenannten ''Diabolisierungsbeweis''. Damit kann erreicht werden, dass selbst die elementarsten Schritte der Mathematik weitgehend unverständlich werden.
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== Gerichtsprozess ==
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In Gerichtsprozessen muss gelogen werden, da sie sonst unendlich lange dauern würden. Wenn Beispielsweise der Richter fragt: "Wie alt sind Sie?", dann darf die Angeklagte lügen und statt "Ich bin 25 Jahre 2 Monate 4 Tage 9 Stunden und 58, 59, 60 ..." sagen: "Ich bin 18."
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Damit dieser Ansatz funktioniert, muss das zugrundegelegte formale System also mindestens Zählungen erlauben. Für einfache Systeme gilt der Unverständlichkeitssatz daher nicht.
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Jede Aussage darf unvollständig sein. Wenn sie vollständig wäre, begönne sie zum Beispiel: Ich ging gerade auf der Budapester Straße, die Farbe meiner Sandalen war braun, obwohl, sie waren leicht an der Seite abgeschabt, ich trug zwei Socken, von denen einer in Kürze beginnen würde, ein Loch zu bekommen, die Farbe des linken Sockens war braun, aber er hatte einen leicht weißen Schimmer von Staub, denn ich war in eine Windböe geraten, diese hatte sich in einem Wirbel aufgelöst, aber Ziegelsteine vom Dach nicht heruntergewedelt. Die Ziegelsteine waren stabil, wogen 1,34 Kg und waren gelb gefärbt. Der andere Struimpf war etwas heller, denn ich hatte ihn beim Aufstehen in der Dunkelheit verwechselt, ist das strafbar, Herr Richter? Mein bart war grau, enthielt aber noch einhundertundzweiundzwanzig dunklere Haare.
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Knödel versetzte mit seinem Unverständlichkeitssatz einem Ansatz von [[David Hilbert]] zur vollständigen Begründung und Formalisierung der Mathematik einen schweren Schlag. Von dieser persönlichen Niederlage hat Hilbert sich nicht wieder erholt; enge Freunde berichten, dass er sein Hotelzimmer von diesem Tag an nicht mehr verlassen hat.
 
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Ein anderer Ansatz, der unüberbrückbare Lücken in Hilberts Programm nachweist, stammt einem britischen Mechaniker, der ein besonders schnelles, als Touring-Maschine bekannt gewordenes Motorrad erfand. Aufgrund eines [[Halteproblem]]s hat die Touring-Maschine bis heute keine TÜV-Zulassung erhalten.
 
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[[Kategorie:Mathematik]]
 

Version vom 13. Juni 2005, 11:48 Uhr

Der Unvollständigkeitssatz, aufgestellt von Kurt Dödel, sagt aus, dass eine Aussage nicht zugleich vollständig und wahr sein könne. Er veränderte wesentlich die Prozessordnung und erlaubt die Aussageverweigerung auch auf dem Gebiet der Mathematik.

Vollständige Induktion

Nach dem Unvollständigkeitssatz ist die vollständige Induktion entweder nicht vollständig oder falsch. Gott vereinbarte mit dem Teufel, irgendein Schlupfloch müsse es immer geben und sei es klitzeklein.


Gerichtsprozess

In Gerichtsprozessen muss gelogen werden, da sie sonst unendlich lange dauern würden. Wenn Beispielsweise der Richter fragt: "Wie alt sind Sie?", dann darf die Angeklagte lügen und statt "Ich bin 25 Jahre 2 Monate 4 Tage 9 Stunden und 58, 59, 60 ..." sagen: "Ich bin 18." Jede Aussage darf unvollständig sein. Wenn sie vollständig wäre, begönne sie zum Beispiel: Ich ging gerade auf der Budapester Straße, die Farbe meiner Sandalen war braun, obwohl, sie waren leicht an der Seite abgeschabt, ich trug zwei Socken, von denen einer in Kürze beginnen würde, ein Loch zu bekommen, die Farbe des linken Sockens war braun, aber er hatte einen leicht weißen Schimmer von Staub, denn ich war in eine Windböe geraten, diese hatte sich in einem Wirbel aufgelöst, aber Ziegelsteine vom Dach nicht heruntergewedelt. Die Ziegelsteine waren stabil, wogen 1,34 Kg und waren gelb gefärbt. Der andere Struimpf war etwas heller, denn ich hatte ihn beim Aufstehen in der Dunkelheit verwechselt, ist das strafbar, Herr Richter? Mein bart war grau, enthielt aber noch einhundertundzweiundzwanzig dunklere Haare.

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