Unvollständigkeitssatz

Der Knödelsche Unverständlichkeitssatz beschäftigt sich mit der Beweisbarkeit von Aussagen in formalen Theorien. Der Satz zeigt die Grenzen der formalen Systeme ab einer bestimmten Mächtigkeit auf.

Der Mathematiker Kurt Knödel wies im Jahre 1930 nach, dass man in Systemen wie der Arithmetik nicht alle Aussagen beweisen oder widerlegen kann. Sein Satz besagt:

Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unverständlich.

Knödels Argumentation beruht auf der sogenannten Knödelisierung. Jeder Satz des innerhalb des formalen Systems erhält dabei eine eigene Nummer. Damit kann erreicht werden, dass beispielsweise einem einfachen Ausdruck wie "1+1=2" die Knödelnummer 8945724983579857096585098324975867985743908543256779812423434 zugeordnet wird. Zu dieser Zahl gehört nun wieder eine noch längere und kompliziertere Knödelnummer. Natürlich kann man diesen Schritt beliebig oft wiederholen, und bereits nach wenigen Schritten ist die Schmerzgrenze auch des cleversten Mathematikers überschritten. Es handelt sich dabei um einen sogenannten Diabolisierungsbeweis. Damit kann erreicht werden, dass selbst die elementarsten Schritte der Mathematik weitgehend unverständlich werden.

Damit dieser Ansatz funktioniert, muss das zugrundegelegte formale System also mindestens Zählungen erlauben. Für einfache Systeme gilt der Unverständlichkeitssatz daher nicht.

Knödel versetzte mit seinem Unverständlichkeitssatz einem Ansatz von David Hilbert zur vollständigen Begründung und Formalisierung der Mathematik einen schweren Schlag. Von dieser persönlichen Niederlage hat Hilbert sich nicht wieder erholt; enge Freunde berichten, dass er sein Hotelzimmer von diesem Tag an nicht mehr verlassen hat.

Ein anderer Ansatz, der unüberbrückbare Lücken in Hilberts Programm nachweist, stammt einem britischen Mechaniker, der ein besonders schnelles, als Touring-Maschine bekannt gewordenes Motorrad erfand. Aufgrund eines Halteproblems hat die Touring-Maschine bis heute keine TÜV-Zulassung erhalten.

 Siehe auch:  Unvollständigkeitssatz