Unvollständigkeitssatz: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 13. Mai 2006, 15:57 Uhr

Der Knödelsche Unverständlichkeitssatz beschäftigt sich mit der Beweisbarkeit von Aussagen in formalen Theorien. Der Satz zeigt die Grenzen der formalen Systeme ab einer bestimmten Mächtigkeit auf.

Der Mathematiker Kurt Knödel wies im Jahre 1930 nach, dass man in Systemen wie der Arithmetik nicht alle Aussagen beweisen oder widerlegen kann. Sein Satz besagt:

Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unverständlich.

Knödels Argumentation beruht auf der sogenannten Knödelisierung. Jeder Satz des innerhalb des formalen Systems erhält dabei eine eigene Nummer. Damit kann erreicht werden, dass beispielsweise einem einfachen Ausdruck wie "1+1=2" die Knödelnummer 8945724983579857096585098324975867985743908543256779812423434 zugeordnet wird. Zu dieser Zahl gehört nun wieder eine noch längere und kompliziertere Knödelnummer. Natürlich kann man diesen Schritt beliebig oft wiederholen, und bereits nach wenigen Schritten ist die Schmerzgrenze auch des cleversten Mathematikers überschritten. Es handelt sich dabei um einen sogenannten Diabolisierungsbeweis. Damit kann erreicht werden, dass selbst die elementarsten Schritte der Mathematik weitgehend unverständlich werden.

Damit dieser Ansatz funktioniert, muss das zugrundegelegte formale System also mindestens Zählungen erlauben. Für einfache Systeme gilt der Unverständlichkeitssatz daher nicht.

Knödel versetzte mit seinem Unverständlichkeitssatz einem Ansatz von David Hilbert zur vollständigen Begründung und Formalisierung der Mathematik einen schweren Schlag. Von dieser persönlichen Niederlage hat Hilbert sich nicht wieder erholt; enge Freunde berichten, dass er sein Hotelzimmer von diesem Tag an nicht mehr verlassen hat.

Ein anderer Ansatz, der unüberbrückbare Lücken in Hilberts Programm nachweist, stammt einem britischen Mechaniker, der ein besonders schnelles, als Touring-Maschine bekannt gewordenes Motorrad erfand. Aufgrund eines Halteproblems hat die Touring-Maschine bis heute keine TÜV-Zulassung erhalten. Der Mechaniker soll sich deswegen, als er in einer Kurve bei stark überhöhtem Tempo über einen Apfel fuhr, mit tödlichen Verletzungen aus seiner Lebensbahn katapultiert haben.

Siehe auch: Unvollständigkeitssatz

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-Der '''Unvollständigkeitssatz''', aufgestellt von [[Kurt Dödel]], sagt aus, dass eine [[Aussage]] nicht zugleich vollständig und [[wahr]] sein könne. Er veränderte wesentlich die [[Prozess]]ordnung und erlaubt die Aussageverweigerung auch auf dem Gebiet der [[Mathematik]].
+Der '''Knödelsche Unverständlichkeitssatz''' beschäftigt sich mit der Beweisbarkeit von Aussagen in formalen Theorien. Der Satz zeigt die Grenzen der formalen Systeme ab einer bestimmten Mächtigkeit auf.
-== Vollständige Induktion ==
+Der Mathematiker [[Kurt Knödel]] wies im Jahre [[1930]] nach, dass man in Systemen wie der [[Arithmetik]] nicht alle Aussagen beweisen oder widerlegen kann. Sein Satz besagt:
-Nach dem Unvollständigkeitssatz ist die vollständige [[Induktion]] entweder nicht vollständig oder falsch. [[Gott]] vereinbarte mit dem [[Teufel]], irgendein [[Schlupfloch]] müsse es immer geben und sei es klitzeklein.
+:''Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unverständlich.''
-== Gerichtsprozess ==
+Knödels Argumentation beruht auf der sogenannten ''Knödelisierung''. Jeder Satz des innerhalb des formalen Systems erhält dabei eine eigene Nummer. Damit kann erreicht werden, dass beispielsweise einem einfachen Ausdruck wie "1+1=2" die Knödelnummer 8945724983579857096585098324975867985743908543256779812423434 zugeordnet wird. Zu dieser Zahl gehört nun wieder eine noch längere und kompliziertere Knödelnummer. Natürlich kann man diesen Schritt beliebig oft wiederholen, und bereits nach wenigen Schritten ist die Schmerzgrenze auch des cleversten Mathematikers überschritten. Es handelt sich dabei um einen sogenannten ''Diabolisierungsbeweis''. Damit kann erreicht werden, dass selbst die elementarsten Schritte der Mathematik weitgehend unverständlich werden.
-In Gerichtsprozessen muss gelogen werden, da sie sonst unendlich lange dauern würden. Wenn Beispielsweise der [[Richter]] fragt: "Wie alt sind Sie?", dann darf die Angeklagte lügen und statt "Ich bin 25 Jahre 2 Monate 4 Tage 9 Stunden und 58, 59, 60 ..." sagen: "Ich bin 18."
-Jede Aussage darf unvollständig sein. Wenn sie vollständig wäre, begönne sie zum Beispiel: Ich ging gerade auf der Buda[[pest]]er Straße, die Farbe meiner Sandalen war [[braun]], obwohl, sie waren leicht an der Seite abgeschabt, ich trug zwei [[Socken]], von denen einer in Kürze beginnen würde, ein Loch zu bekommen, die Farbe des linken Sockens war braun, aber er hatte einen leicht weißen Schimmer von [[Staub]], denn ich war in eine Windböe geraten, diese hatte sich in einem Wirbel aufgelöst, aber [[Ziegelstein]]e vom Dach nicht heruntergewedelt. Die Ziegelsteine waren stabil, wogen 1,34 Kg und waren gelb gefärbt. Der andere Strumpf war etwas heller, denn ich hatte ihn beim Aufstehen in der Dunkelheit verwechselt, ist das strafbar, Herr Richter? Mein [[Bart]] war grau, enthielt aber noch einhundertundzweiundzwanzig dunklere [[Haar]]e.
-Außerdem habe ich in den Text [[Tippfehler]] hineingebracht. Die [[Straßenbahn]] klingelte. Es war ein Ton von etwa 800 Hertz. Aber er war nicht an jeder Stelle gleich hoch und er hatte unterschiedliche Lautstärke und die 800 Hertz stimmen nicht richtig, aber das tut mir leid, ich hatte kein Messgerät mit.
+Damit dieser Ansatz funktioniert, muss das zugrundegelegte formale System also mindestens Zählungen erlauben. Für einfache Systeme gilt der Unverständlichkeitssatz daher nicht.
-== Reisen ==
+Knödel versetzte mit seinem Unverständlichkeitssatz einem Ansatz von [[David Hilbert]] zur vollständigen Begründung und Formalisierung der Mathematik einen schweren Schlag. Von dieser persönlichen Niederlage hat Hilbert sich nicht wieder erholt; enge Freunde berichten, dass er sein [[Hilberts Hotel|Hotelzimmer]] von diesem Tag an nicht mehr verlassen hat.
-Bei [[Reise]]n sagt der Unvollständigkeitssatz aus, dass man nie alles mitnimmt, was man braucht, aber dafür auch nie alles braucht, was man mitnimmt.
+Ein anderer Ansatz, der unüberbrückbare Lücken in Hilberts Programm nachweist, stammt einem britischen Mechaniker, der ein besonders schnelles, als Touring-Maschine bekannt gewordenes Motorrad erfand. Aufgrund eines [[Halteproblem]]s hat die Touring-Maschine bis heute keine [[TÜV]]-Zulassung erhalten. Der [[Allen Touring|Mechaniker]] soll sich deswegen, als er in einer Kurve bei stark überhöhtem Tempo über einen Apfel fuhr, mit tödlichen [[Vergiftung|Verletzungen]] aus seiner Lebensbahn katapultiert haben.
-== Drogen ==
+{{sa}} [[Unvollständigkeitssatz]]
-Möchtegern-Ex-Alkis machen aus purer Freude einen Unvollständigkeitssatz, wenn sie über einen vorbestimmten Zeitraum hin ständig [[unvoll]], das heisst nüchtern geblieben sind.
-== Computertechnik ==
-Durch die Übersetzung aus dem Suahelischen über das [[Russische Sprache|Russisch-Orthodoxe]] ins [[Deutsch]]e sind viele Fehlermeldungen in der Computertechnik unvollständig. Dies liegt hauptsächlich daran, das sich bei der Übersetzung die Textmenge erhöht, das Fenster aber gleich groß bleibt. Somit kommt es immer häufiger zum Unvollständigkeitssatz wie "Ihre Seite kann nicht gedruckt werden.\nBitte überprüfen Sie, ob der Drucker eingeschaltet und betriebsbereit ist und ob auch alle Kabel".
-==Siehe auch==
-* [[Knödelscher Unverständlichkeitssatz]]
-* [[Kurt Knödel]]
-* [[Johann Wolfgang von Gödel]]
-{{Rechtshinweis}}
+[[Kategorie:Mathematik]]
 [[Kategorie:Logik]]
-[[Kategorie:Recht]]
-[[Kategorie:Computer]]
-[[Kategorie:Drogen]]
-[[Kategorie:Mathematik]]
-{{GanzGut}}

Unvollständigkeitssatz: Unterschied zwischen den Versionen

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